Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是AB邊的中點，以AE為邊作正方形AEFG，連接DE，BG．

（1）發(fā)現(xiàn)
①線段DE、BG之間的數(shù)量關系是；
②直線DE、BG之間的位置關系是 ．
（2）探究
如圖2，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）應用
如圖3，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一周，記直線DE與BG的交點為P，若AB=4，請直接寫出點P到CD所在直線距離的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）DE=BG；DE⊥BG
（2）

解：（1）中的結論仍然成立，理由是：

①如圖3，∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是正方形，

∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，

∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，

在△EAD和△GAB中，

，

∴△EAD≌△GAB（SAS），

∴ED=GB；

②ED⊥GB，

理由是：∵△EAD≌△GAB，

∴∠GBA=∠EDA，

∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，

∴∠BMH+∠GBA=90°，

∴∠DHB=180°﹣90°=90°，

∴ED⊥GB；

（3）

解：應用

將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一周，即點E和G在以A為圓心，以2為半徑的圓上，

過P作PH⊥CD于H，

①當P與F重合時，此時PH最小，如圖4，

在Rt△AED中，AD=4，AE=2，

∴∠ADE=30°，DE= =2 ，

∴DF=DE﹣EF=2 ﹣2，

∵AD⊥CD，PH⊥CD，

∴AD∥PH，

∴∠DPH=∠ADE=30°，

cos30°= = ，

∴PH= （2 ﹣2）=3﹣ ；

②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，

∴以BD的中點O為圓心，以BD為直徑作圓，P、A在圓上，

當P在 的中點時，如圖5，此時PH的值最大，

∵AB=AD=4，

由勾股定理得：BD=4 ，

則半徑OB=OP=2

∴PH=2+2 ．

綜上所述，點P到CD所在直線距離的最大值是2+2 ，最小值是3﹣ ．

【解析】解：（1）發(fā)現(xiàn)①線段DE、BG之間的數(shù)量關系是：DE=BG，
理由是：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BDA=90°，
∴∠BAG=∠BAD=90°，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴AE=AG，
∴△AED≌△AGB，
∴DE=BG；②直線DE、BG之間的位置關系是：DE⊥BG，
理由是：如圖2，延長DE交BG于Q，

由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，
∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，
∴∠BEQ+∠ABG=90°，
∴∠BQE=90°，
∴DE⊥BG；
所以答案是：①DE=BG；②DE⊥BG；
【考點精析】關于本題考查的圖形的旋轉，需要了解每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素才能得出正確答案．