Question

【題目】在平面直角坐標系中，如果點，點為某個菱形的一組對角的頂點，且點在直線上，那么稱該菱形為點的“伴隨菱形”，下圖為點的“伴隨菱形”的一個示意圖．

已知點的坐標為(1，1)，點的坐標為．

（1）點中，能夠成為點的“伴隨菱形”的頂點的是__________________；

（2）如果四邊形是點的“伴隨菱形”．

①當點的坐標為時，求四邊形的面積；

②當四邊形中較小內角的度數為60°時，求四邊形的面積；

③當四邊形的面積為8，且與直線有公共點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）F、G；（2）①4；②；③

【解析】

（1）根據點的坐標畫圖菱形，根據圖形即可得到答案；

（2）①根據點N的坐標畫圖符合題意的圖形，證明四邊形是正方形，再根據面積公式計算即可；

②先求出MP的長度，根據已知條件證明△MNP和△MPQ都是等邊三角形，利用等腰三角形的三線合一的性質及勾股定理求出NQ，即可根據菱形面積公式求出答案；

③根據菱形的面積求出OH，證明點N、Q分別在x軸上、y軸上，即可求出答案.

（1）觀察圖形可知：點F、G能夠成為點的“伴隨菱形”的頂點，

故答案為：F、G；

（2）①如圖，

∵N(3，1)，M(1，1)，P(3，3)，

∴MN=2，PN⊥MN，

∵四邊形是菱形，

∴四邊形是正方形，

∴S四邊形MNPQ=；

②∵M(1，1)，P(3，3)，

∴MP=

∵∠MNP=∠MQP=60°，MN=NP=PQ=MQ，

∴△MNP和△MPQ都是等邊三角形，

∴MP=MN=2，

連接NQ，交MP于H，

∴∠MNH=30°，∠MHN=90°，

∴MH=,

∴HN=,

∴NQ=,

∴S四邊形MNPQ=；

③如圖，

∵MP=，菱形的面積為8，

∴,

∴NQ=,

∵四邊形MNPQ是菱形，

∴MH=， NH=2

∵M(1，1)，

∴OM=，

∴OH=2，

作直線QN，交x軸于A，

∵M、P在直線y=x上，

∴∠MOA=45°，

∴△HOA是等腰直角三角形，

∴HA=OH=2，

∴點A與點N重合，即點N在x軸上，

同理可知：Q在y軸上，且ON=OQ=4，

由題意得：四邊形MNPQ與直線y=x+b有公共點時，b的取值范圍是.