Question

【題目】如圖，△ABC是以BC為底的等腰三角形，AD是邊BC上的高，點E、F分別是AB、AC的中點．

（1）求證：四邊形AEDF是菱形；

（2）如果四邊形AEDF的周長為12，兩條對角線的和等于7，求四邊形AEDF的面積S．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊中線是斜邊一半，求得DE=AE=AF=DF,

所以AEDF是菱形.

(2)由（1）得，AEDF是菱形，求得菱形對角線乘積的一半，求面積 .

試題解析：

（1）∵AD⊥BC，點E、F分別是AB、AC的中點，

∴Rt△ABD中，DE=AB=AE，

Rt△ACD中，DF=AC=AF，

又∵AB=AC，點E、F分別是AB、AC的中點，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DE=DF，

∴四邊形AEDF是菱形.

（2）如圖，∵菱形AEDF的周長為12，

∴AE=3，

設EF=x，AD=y，則x+y=7，

∴x2+2xy+y2=49，①

∵AD⊥EF于O，

∴Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，

∴（y）2+（x）2=32，

即x2+y2=36，②

把②代入①，可得2xy=13，

∴xy=，

∴菱形AEDF的面積S=xy= ．