Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E．⊙O的切線BF與弦AC的延長線相交于點F，且AC=8，tan∠BDC=

3

4

．
（1）求⊙O的半徑長；
（2）求線段CF長．

Answer 1

分析：（1）過O作OH垂直于AC，利用垂徑定理得到H為AC中點，求出AH的長為4，根據同弧所對的圓周角相等得到tanA=tan∠BDC，求出OH的長，利用勾股定理即可求出圓的半徑OA的長；
（2）由AB垂直于CD得到E為CD的中點，得到EC=ED，在直角三角形AEC中，由AC的長以及tanA的值求出CE與AE的長，由FB為圓的切線得到AB垂直于BF，得到CE與FB平行，由平行得比例列出關系式求出AF的長，根據AF-AC即可求出CF的長．

解答：解：（1）作OH⊥AC于H，則AH=

1

2

AC=4，
在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=

3

4

，
∴OH=3，
∴半徑OA=

AH2+OH2

=5；

（2）∵AB⊥CD，
∴E為CD的中點，即CE=DE，
在Rt△AEC中，AC=8，tanA=

3

4

，
設CE=3k，則AE=4k，
根據勾股定理得：AC²=CE²+AE²，即9k²+16k²=64，
解得：k=

8

5

，
則CE=DE=

24

5

，AE=

32

5

，
∵BF為圓O的切線，
∴FB⊥AB，
又∵AE⊥CD，
∴CE∥FB，
∴

AC

AF

=

AE

AB

，即

8

AF

=

32 5

10

，
解得：AF=

25

2

，
則CF=AF-AC=

9

2

．

點評：此題考查了切線的性質，垂徑定理，銳角三角函數定義，勾股定理，以及平行線的性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．