Question

【題目】如圖，拋物線 的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3）,點D在x軸正半軸上，線段OD=OC.

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在點M，使得△CDM是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，連接QE.若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點的移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線的解析式為 ，
將C（0，1）代入得： ，
解得: ,
∴拋物線的解析式為： 即
（2）解: ①如圖1，當點C為直角頂點時，

∵點C的坐標為（0，1），
∴OD=OC=1，
∴點D的坐標為（1，0），
設直線CD為 ，則： ，解答 ，
∴直線CD的解析式為： ，
∵此時CM⊥CD，
∴CM的解析式為： ，
由： ，解得： ， ，
∵點（0，1）與點C重合，
∴點M的坐標為（2，3），此時點M與點Q重合；
②如圖②，當D為直角頂點時，由①可得直線DM的解析式為 ，

由： ,解得： ， ，
∴點Ｍ的坐標為為 或 ；
綜上所述，符合題意的Ｍ有三點，分別是(2 , 3 )， 或 .
（3）解：存在．如圖③所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．

如答圖④所示，連接C′E，

由（2）可知，QC⊥CD， 由題意可得：QC=QE，
∵∠DCE=45°，
∴∠QCE=45°=∠QEC，
∴△QCE是等腰直角三角形，
∵C，C′關于直線QE對稱，
∴△QC′E為等腰直角三角形，
∴△CEC′為等腰直角三角形，
∵在拋物線 中，由 解得 ，
∴點E的坐標為（4，1），
∴CE=4=C′E，
∴點C′的坐標為（4，5）；
∵C，C″關于x軸對稱，
∴點C″的坐標為（0，﹣1）．
∴OC″=1，
過點C′作C′N⊥y軸于點N，則NC′=CE=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″= ．
綜上所述，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為 ．
【解析】（1）解析式可設為頂點式，再把C（0，1）代入解析式即可；（2）以CD為直角邊的直角三角形分為兩類，分別以C、D為直角頂點，可過C、D分別作CD的垂線，與拋物線相交，聯立直線和拋物線解析式組成方程組，可求出M坐標；（3）可利用對稱法作出C關于定直線QE的對稱點C'，關于y軸對稱點為C",把△PCF的周長轉化為FC"+FP+PC',當C"、F、P、C'四點共線時，周長最小.