Question

【題目】如圖，半徑為5的⊙O與y軸相交于A點，B為⊙O在x軸上方的一個動點（不與點A重合），C為y軸上一點且∠OCB＝60°，I為△BCO的內心，則△AIO的外接圓的半徑的取值（或取值范圍）為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先證明∠AIO＝120°＝定值，OA＝5＝定值，推出點G的運動軌跡是，推出△AOI的外接圓的半徑是定值，由此即可解決問題．

如圖，

∵∠BCO＝60°，

∴∠CBO+∠COB＝120°，

∵I是內心，

∴∠IOB＝∠COB，∠IBO＝∠CBO，

∴∠IOB+∠IBO＝(∠COB+CBO)＝60°，

∴∠OIB＝180°﹣∠IOB﹣∠IBO＝120°，

∵OA＝OB，∠AOI＝∠BOI，OI＝OI，

∴△AIO≌△BOI（SAS），

∴∠AIO＝∠BIO＝120°，

作△AOI的外接圓⊙G，連接AG，OG，作GD⊥OA于D．

∵∠AIO＝120°＝定值，OA＝5＝定值，

∴點G的運動軌跡是，

∴△AOI的外接圓的半徑是定值，

∵GA＝GO，GD⊥OA，∠AGO＝120°，

∴∠AGD＝∠AGO＝120°，AD＝OD＝，

∴AG＝＝＝．

故答案為．