Question

【題目】如圖，E，F是正方形ABCD外接圓上的兩個點，且EC∥BF，AD與BF的延長線交于點P．

（1）求∠EBF的度數；

（2）求證：BPBE=AB2．

Answer 1

【答案】（1）45°（2）證明見解析

【解析】

（1）根據已知條件得到弧CAB的度數=270°，由圓周角定理得到根據平行線的性質證得∠E+∠EBF=180°，可得到∠EBF=45°；

（2）連接BD，根據正方形的性質得到∠ADB=45°，，AP∥BC，AB=BC，根據鄰補角的定義得到∠PDB=135°，根據平行線的性質得到∠P=∠PBC=∠ECB，推出△PBD∽△BCE，根據相似三角形的性質得到等量代換即可得到結論．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴弧CAB的度數=270°，

∴

∵EC∥BP，

∴∠E+∠EBF=180°，

∴∠EBF=45°；

（2）連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45°，，AP∥BC，AB=BC，

∴∠PDB=135°，

∴∠PDB=∠E，

∵AP∥BC，CE∥PB，

∴∠P=∠PBC=∠ECB，

∴△PBD∽△BCE，

∴

∴

∴