Question

【題目】如圖①,如果四邊形ABCD滿足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我們把這樣的四邊形叫做“完美箏形”．

將一張如圖①所示的“完美箏形”紙片ABCD先折疊成如圖②所示形狀,再展開得到圖③,其中CE,CF為折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,點(diǎn)B′為點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)D′為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn),連接EB',FD′相交于點(diǎn)O．

簡單應(yīng)用：

(1)在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中,一定為“完美箏形”的是__________________．

(2)請你結(jié)合圖1寫出一條完美箏形的性質(zhì)_______________．

(3)當(dāng)圖3中的∠BCD=120°時(shí),∠AEB′=_________________．

(4)當(dāng)圖2中的四邊形AECF為菱形時(shí),對應(yīng)圖③中的“完美箏形”有__________________________(寫出箏形的名稱：例 箏形ABCD)．

Answer 1

【答案】正方形 答案不唯一，關(guān)于角、邊、對角線、對稱性等均可 80° 箏形ABCD、箏形AEOF、箏形EBCB’、箏形FDCD’、箏形OD’CB’．五個(gè)箏形

【解析】

（1）根據(jù)“完美箏形”的定義判斷即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意及圖形即可得出完美箏形的性質(zhì)；

（3）先證出∠AEB′=∠BCB′，再求出∠BCE=∠ECF=40°，即可得出結(jié)果；

（4）由折疊的性質(zhì)結(jié)合“完美箏形”的定義可得出四邊形EBCB′、四邊形FDCD′是“完美箏形”；由菱形的性質(zhì)得出AE=AF，CE=CF，再證明△OED′≌△OFB′，得出OD′=OB′，OE=OF，證出∠AEB′=∠AFD′=90°，即可得出四邊形CD′OB′、四邊形AEOF是“完美箏形”；即可得出結(jié)論

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，
∴正方形是完美箏形；

（2）由完美箏形的定義可得完美箏形的邊的性質(zhì)是：完美箏形的兩組鄰邊分別相等，

完美箏形的角的性質(zhì)是：只有一組對角相等；

連接完美箏形的兩條對角線，探究發(fā)現(xiàn)完美箏形的對角線的性質(zhì)：完美箏形的兩條對角線互相垂直；完美箏形的一條對角線平分一組對角；

完美箏形的對稱性：完美箏形是軸對稱圖形；

證明：連接AC、BD，

∵四邊形ABCD是“完美箏形”，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，

∴△ABC≌△ADC（SAS），（完美箏形是軸對稱圖形）

∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，（完美箏形的一條對角線平分一組對角）

∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，

∴AC⊥BD；（完美箏形的兩條對角線互相垂直）

（3）根據(jù)題意得：∠EB′C=∠B=90°，
∴在四邊形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，
∵∠AEB′+∠BEB′=180°，
∴∠AEB′=∠BCB′，
∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠ECF=40°，
∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；

（4）當(dāng)圖②中的四邊形AECF為菱形時(shí)，對應(yīng)圖③中的“完美箏形”有5個(gè)：箏形ABCD、箏形AEOF、箏形EBCB’、箏形FDCD’、箏形OD’CB’．:理由如下；
根據(jù)題意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，
∴四邊形EBCB′、四邊形FDCD′是“完美箏形”；
∵四邊形ABCD是“完美箏形”，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，
∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，
∴∠OD′E=∠OB′F=90°，
∵四邊形AECF為菱形，
∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，
∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，
在△OED′和△OFB′中，

，
∴△OED′≌△OFB′（AAS），
∴OD′=OB′，OE=OF，
∴四邊形CD′OB′、四邊形AEOF是“完美箏形”；
∴包含四邊形ABCD，對應(yīng)圖③中的“完美箏形”有5個(gè)：箏形ABCD、箏形AEOF、箏形EBCB’、箏形FDCD’、箏形OD’CB’．