Question

（2008•杭州）在直角坐標系xOy中，設點A（0，t），點Q（t，b）（t，b均為非零常數）．平移二次函數y=-tx²的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件：①頂點為Q；②與x軸相交于B，C兩點（|OB|＜|OC|）．連接AB．
（1）是否存在這樣的拋物線F，使得|OA|²=|OB|•|OC|？請你作出判斷，并說明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求拋物線F對應的二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）平移二次函數y=-tx²的圖象，得到的拋物線F，則拋物線的二次項系數不變，頂點為Q，則函數的解析式就可以直接寫出．是y=-t（x-t）²+b．|OB|•|OC|就是一元二次方程-t（x-t）²+b=0的兩根的積得絕對值，因而可以用根據韋達定理，利用t表示出來．而OA=t，根據|OA|²=|OB|•|OC|就可以得到一個關于t的方程．從而把問題轉化為判斷方程的解得問題．
（2）AQ∥BC即Q得縱坐標是b=t，得到拋物線F是：y=-t（x-t）²+t．就可以求出B，C的坐標．已知tan∠ABO=，就是已知OA與OB得比值，即t的關系．就可以轉化為方程問題解決．
解答：解：（1）存在這樣的拋物線F，使得|OA|²=|OB|•|OC|．
理由是：∵平移y=-tx²的圖象得到的拋物線F的頂點為Q，
∴拋物線F對應的解析式為：y=-t（x-t）²+b，即y=-tx²+2t²x-t³+b，
令y=0，得OB=t-，OC=t+，
∴|OB|•|OC|=|（t-）（t+）|=|t²-|=t²=OA²，
即，
所以當b=2t³時，存在拋物線F使得|OA|²=|OB|•|OC|，
即：存在這樣的拋物線F，使得|OA|²=|OB|•|OC|．

（2）∵AQ∥BC，
∴t=b，得：y=-t（x-t）²+t，
解得x₁=t-1，x₂=t+1．
在Rt△AOB中，
①當t＞0時，由|OB|＜|OC|，得B（t-1，0），
當t-1＞0時，由tan∠ABO===，解得t=3，
此時，二次函數解析式為y=-3x²+18x-24；
當t-1＜0時，由tan∠ABO===，解得t=，
此時，二次函數解析式為y=-x²+x+；
②當t＜0時，由|OB|＜|OC|，將-t代替t，解得：t=-，t=-3，
同法求出y=-x²+x-或y=-3x²+18x+24；
故二次函數解析式為y=-x²+x-或y=-3x²+18x+24，
答：拋物線F對應的二次函數的解析式是y=-x²+x±或y=-3x²+18x±24．
點評：我們可以先假設存在這樣的拋物線，如果能夠求出對應的值，則存在，如果求不出，則不存在．