Question

6．如圖，已知以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為弧BE的中點，連接AD交OE于點F，若AC=FC
（Ⅰ）求證：AC是⊙O的切線；
（Ⅱ）若BF=5，DF=$\sqrt{17}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根據勾股定理得出方程r²+（8-r）²=（$\sqrt{17}$）²，求出即可．

解答 （1）證明：
連接OA、OD，
∵D為弧BE的中點，
∴OD⊥BC，
∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，
∴OA⊥AC，
∵OA為半徑，
∴AC是⊙O切線；

（2）解：∵⊙O半徑是r，
∴OD=r，OF=5-r，
在Rt△DOF中，r²+（5-r）²=（$\sqrt{17}$）²，
r=4，r=1（舍），
即⊙O的半徑r為4．

點評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算的能力．