Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，∠BAC＝120°、OA⊥BC、若AB＝4.

(1)求證：四邊形OACD為菱形.

(2)求AD的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)AD=4.

【解析】

(1)由已知條件和垂徑定理以及圓周角定理易證四邊形OACD為平行四邊形，再由鄰邊相等的平行四邊形為菱形，可得結論；

(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，在Rt△ABD中利用勾股定理即可求出AD的長.

(1)證明：∵OA⊥BC，

∴，

∴AB＝AC，∠CDA＝∠ADB＝∠CDB，

∵∠BAC＝120°，

∴∠BDC＝180°﹣120°＝60°，

∴∠CDA＝∠ADB＝30°，

∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD＝90°.

∴AC＝AB＝BD，∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝30°，

∴AC∥OD，AC=OD，

∴四邊形OACD為平行四邊形，

又∵OA＝OD，

∴四邊形OACD為菱形；

(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，

在Rt△ABD中，AD＝＝4.