Question

（2011•南京）如圖①，P為△ABC內一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．
（1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE丄CD，垂足為E．試說明E是△ABC的自相似點；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如圖③，利用尺規作出△ABC的自相似點P（寫出作法并保留作圖痕跡）；
②若△ABC的內心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，
∴CD=AB，
∴CD=BD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴E是△ABC的自相似點；
（2）

①如圖所示，
做法：①在∠ABC內，作∠CBD=∠A，；
②在∠ACB內，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，
則P為△ABC的自相似點；
②∵P是△ABC的內心，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∵∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=，
∴該三角形三個內角度數為：，，．

解析