Question

（本題滿分12分）已知，AB為⊙O 的直徑，點E 為弧AB 任意一點，如圖，AC平分∠BAE,交⊙O于C ,過點C作CD⊥AE于D,與AB的延長線交于P．

⑴求證：PC是⊙O的切線．⑵若∠BAE=60°，求線段PB與AB的數量關系．

Answer 1

略

分析：
（1）通過角平分線和有兩半徑為邊的三角形是等腰三角形可得到OC∥AD，再證明OC⊥CD．
（2）先得到△ACB是含30°的直角三角形，找到AB=2BC，再證明BC=BP即可．
解答：
（1）證明：連OC，BC，如圖，

∵∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA．
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
∴PC是⊙O的切線。
（2）解：若∠BAE=60°，則∠1=30°，∠P=30°。

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°。
∴∠3=60°，則△OBC為等邊三角形，即BC=1/2AB。
而∠3=∠P+∠4，所以∠4=30°，
∴BC=BP
∴PB=1/2AB
點評：熟練掌握切線的判定定理，證明切線的問題轉化為證明線段垂直的問題．要學會充分利用特殊角進行角度計算，確定邊之間的數量。