Question

（2013•南沙區一模）如圖1，已知拋物線y=

1

2

x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=2OA=4．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）設P是（1）中拋物線上的一個動點，以P為圓心，R為半徑作⊙P，求當⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切時點P的坐標．
（3）動點E從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，動點F從點B出發，以每秒

2

個單位長度的速度向終點C運動，過點E作EG∥y軸，交AC于點G（如圖2）．若E、F兩點同時出發，運動時間為t．則當t為何值時，△EFG的面積是△ABC的面積的

1

3

？

Answer 1

分析：（1）根據OA、OB的長度求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）根據拋物線解析式求出對稱軸為x=1，并根據拋物線解析式設出點P的坐標，然后根據點P到直線x=1與x軸的距離相等列出方程，再解絕對值方程即可得解；
（3）根據拋物線解析式求出點C的坐標，然后求出△ABC的面積，并利用待定系數法求一次函數解析式求出直線AC的解析式，判斷出△BOC是等腰直角三角形，然后用t表示出點E的坐標，從而求出EG的長度，過F作FM⊥x軸于點M，用t表示出BM的長度，然后用t表示出EM的長度，即△EFG邊EG上的高，再根據三角形的面積公式列式求解即可．

解答：解：（1）∵OB=2OA=4，
∴OA=2，
∴點A（-2，0），B（4，0），
把點A、B的坐標代入拋物線y=

1

2

x²+bx+c得，

1 2 ×4-2b+c=0 1 2 ×16+4b+c=0

，
解得

b=-1 c=-4

，
∴拋物線的函數表達式為y=

1

2

x²-x-4；

（2）拋物線對稱軸為x=-

b

2a

=-

-1

2× 1 2

=1，
設點P坐標為（x，

1

2

x²-x-4），
∵⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切，
∴|x-1|=|

1

2

x²-x-4|，
即x-1=

1

2

x²-x-4①或x-1=-（

1

2

x²-x-4）②，
解方程①，整理得，x²-4x-6=0，
解得x₁=2+

10

，x₂=2-

10

，
當x₁=2+

10

時，y₁=2+

10

-1=1+

10

，
當x₂=2-

10

時，y₂=2-

10

-1=1-

10

，
此時點P的坐標為（2+

10

，1+

10

）或（2-

10

，1-

10

），
解方程②，整理得，x²-10=0，
解得x₃=

10

，x₄=-

10

，
當x₃=

10

時，y₃=1-

10

，
當x₄=-

10

時，y₄=1+

10

，
此時，點P的坐標為（

10

，1-

10

）或（-

10

，1+

10

），
綜上所述，點P的坐標為（2+

10

，1+

10

）或（2-

10

，1-

10

）或（

10

，1-

10

）或（-

10

，1+

10

）；

（3）拋物線解析式當x=0時，y=-4，
所以，點C的坐標為（0，-4），
又∵AB=OA+OB=2+4=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×4=12，
設直線AC的解析式為y=kx+b，則

-2k+b=0 b=-4

，
解得

k=-2 b=-4

，
所以，直線AC的解析式為y=-2x-4，
∵點E從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，
∴AE=t，點E的坐標為（-2+t，0），
∴EG=-2（-2+t）-4=-2t，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴△BOC是等腰直角三角形，
如圖，過點F作FM⊥x軸于點M，
∵點F從點B出發，以每秒

2

個單位長度的速度向終點C運動，
∴BF=

2

t，
∴BM=

2

2

×

2

t=t，
∴ME=AB-AE-BM=6-t-t=6-2t，
即點F到EG的距離為（6-2t），
∴S_△EFG=

1

2

×|-2t|×（6-2t）=-2t²+6t，
又△EFG的面積是△ABC的面積的

1

3

，
∴-2t²+6t=

1

3

×12，
整理得，t²-3t+2=0，
解得t₁=1，t₂=2，
∴當t為1秒或2秒時，△EFG的面積是△ABC的面積的

1

3

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求函數解析式（二次函數解析式與一次函數解析式），直線與圓相切，圓心到直線的距離等于圓的半徑，解一元二次方程，以及三角形的面積，本題思路比較復雜，運算量較大，要注意分情況討論求解，計算時要認真仔細．