Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（﹣1，0）、（0，﹣ ），點B在x軸上．已知某二次函數的圖象經過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x=1，點P為直線BC下方的二次函數圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作y軸的平行線交BC于點F．

（1）求該二次函數的解析式；
（2）若設點P的橫坐標為m，用含m的代數式表示線段PF的長；
（3）求△PBC面積的最大值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數），

由拋物線的對稱性知B點坐標為（3，0），

依題意得： ，

解得： ，

∴所求二次函數的解析式為

（2）

解：∵P點的橫坐標為m，

∴P點的縱坐標為 ，

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數），

依題意，得 ，

∴ ，

故直線BC的解析式為 ，

∴點F的坐標為 ，

∴

（3）

解：∵△PBC的面積 ，

∴當 時，△PBC的最大面積為 ，

把 代入 ，

得 ，

∴點P的坐標為

【解析】此題文字比較多，而且圖象也比較復雜，所以解題時需要理解題意．（1）可以采用待定系數法求二次函數的解析式，因為點A（﹣1，0）、C（0，﹣ ）在函數圖象上，對稱軸為x=1，也可求得A的對稱點B的坐標為（3，0），列方程組即可求得解析式；（2）先求得直線BC的解析式為 ，則可求得點F的坐標為 ，再求得點P的縱坐標為 ，可得線段PF的長；（3）利用面積和，△PBC的面積 即可求得．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．