Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.給出下列四個結論：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF 正確的個數是（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正確，
在△CDE與△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正確；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正確，
故答案為：D．
根據已知BF∥AC，得出∠C=∠CBF，再根據BC平分∠ABF，得出∠ABC=∠CBF，從而證得∠C=∠ABC，證得△ABC是等腰三角形，根據等腰三角形三線合一的性質得出BD=CD，AD⊥BC，然后利用ASA證明△CDE≌△DBF，得出DE=DF，CE=BF，根據AE=2BF，可證得AC=3BF，繼而得出結論。