Question

如圖，Rt△ABC內接于⊙O．將⊙O沿直徑AC對折，B點落在圓上D點處．連接BD交AC于點E，過C點作BD的平行線交AD的延長線于點F．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若sin∠BAC=

3

5

，DF=3，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析：（1）欲證CF是⊙O的切線，只需證明⊥CF即可；
（2）由圓周角定理、平行線的性質以及等量代換推知∠BAC=∠DCF；然后根據三角函數的定義、軸對稱圖形的性質求得DC=BC=4；最后在直角三角形ABC中利用正弦三角函數的定義求得該圓的直徑AC的長度．

解答：（1）證明：∵B、D關于AC對稱，∴AC⊥BD，
又∵CF∥BD，
∴AC⊥CF，
∵點C在⊙O上，
∴CF是⊙O的切線；

（2）解：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠CDF=90°；
又∵CF∥BD（已知），
∴∠BDC=∠DCF（兩直線平行，內錯角相等）；
∵∠BAC=∠BDC（同弧所對的圓周角相等），
∴∠BAC=∠DCF（等量代換），
∴sin∠BAC=sin∠DCF=

DF

CF

=

3

5

，
∴CF=5；
∴CD=4；
∵B、D關于AC對稱，
∴BC=CD=4，
∴sin∠BAC=

BC

AC

=

3

5

，
∴AC=

20

3

，
∴⊙O的半徑長=

1

2

AC=

10

3

．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．