Question

設，是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式≤≤的實數的所有取值的全體叫做閉區間，表示為. 對于一個函數，如果它的自變量與函數值滿足：當m≤≤n時，有m≤≤n，我們就稱此函數是閉區間上的“閉函數”.
（1）反比例函數是閉區間上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；
（2）若一次函數是閉區間上的“閉函數”，求此函數的表達式；
（3）若二次函數是閉區間上的“閉函數”，直接寫出實數， 的值.

Answer 1

（1）是，理由見解析；（2）y=x或；（3）或.

試題分析：（1）根據反比例函數的單調區間進行判斷.
（2）根據新定義運算法則列出關于系數k、b的方程組或，通過解該方程組即可求得系數k、b的值.
（3）因為，所以該二次函數的圖象開口方向向上，最小值是，且當x＜2時，y隨x的增大而減小；當x＞2時，y隨x的增大而增大；根據新定義運算法則分三種情況列出關于系數a、b的方程組，解方程組即可求得a、b的值.　
（1）反比例函數是閉區間[1，2014]上的“閉函數”. 理由如下：
∵反比例函數在第一象限，y隨x的增大而減小，且
當x=1時，y=2014；當x=2014時，y=1，
∴當1≤x≤2014時，有1≤y≤2014，符合閉函數的定義，故反比例函數是閉區間[1，2014]上的“閉函數”.
（2）分兩種情況：k＞0或k＜0．
①當k＞0時，一次函數的圖象是y隨x的增大而增大，根據“閉函數”的定義得，
，解得.
∴此函數的解析式是y=x.
②當k＜0時，一次函數的圖象是y隨x的增大而減小，根據“閉函數”的定義得，
，解得.
∴此函數的解析式是.
（3）∵，
∴該二次函數的圖象開口方向向上，最小值是，且當x＜2時，y隨x的增大而減小；當x＞2時，y隨x的增大而增大.
①當b≤2時，此二次函數y隨x的增大而減小，則根據“閉函數”的定義得，
，解得，（不合題意，舍去）或.
②當a＜2＜b時，此時二次函數的最小值是=a，根據“閉函數”的定義得
或.
a）當時，由于，不合題意，舍去；
b）當時，解得，
∵b＞2，∴.
③當a≥2時，此二次函數y隨x的增大而增大，則根據“閉函數”的定義得，
，解得，.
∵＜0，∴舍去.
綜上所述，或.