Question

16．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在線段AB上，動點M從點A出發向點B做勻速運動，同時動點N從B出發向點A做勻速運動，當點M、N其中一點停止運動時，另一點也停止運動，分別過點M、N做AB的垂線，分別交兩直角邊于點D、E，連接DE，若運動時間為t秒，在運動過程中四邊形DENM總為矩形（點M、N重合除外）．
（1）圖中共有6組不同的相似三角形（不包括點M、N相遇后出現的三角形）；
（2）若點M的運動速度為每秒1個單位長度，求點N的運動速度；
（3）當t為多少秒時，矩形DENM為正方形？

Answer 1

分析 （1）根據△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，可得共有6組不同的相似三角形；
（2）根據△ADM∽△ABC，AM=t，可得$\frac{AM}{AC}$=$\frac{MD}{BC}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{DM}{4}$，即可得出DM=$\frac{4}{3}$t，EN=DM=$\frac{4}{3}$t，再根據△BEN∽△BAC，得出$\frac{BN}{BC}$=$\frac{EN}{AC}$，即$\frac{BN}{4}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{3}$，進而得到NB=$\frac{16}{9}$t，據此可得點N的運動速度：$\frac{16}{9}$t÷t=$\frac{16}{9}$；
（3）當點N、M相遇時，有$\frac{16}{9}$t+t=5，解得t=$\frac{9}{5}$；當點N、M相遇后繼續運動，點N先到達A點，此時點M停止運動，則有$\frac{16}{9}$t=5，解得t=$\frac{45}{16}$，若矩形DENM為正方形，則DM=MN，分兩種情況：①相遇前；②相遇后，分別根據DM=MN列出關于t的方程，求得t的值即可．

解答 解：（1）∵四邊形DENM為矩形，
∴DE∥AB，∠AMD=∠ENB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AMD=∠ENB=∠C=90°，
∴△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，
∴共有6組不同的相似三角形，
故答案為：6；

（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵在運動過程中四邊形DENM總為矩形，
∴∠AMD=∠BNE=90°，
∴△ADM∽△ABC，
由題得：AM=t，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{MD}{BC}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{DM}{4}$，
∴DM=$\frac{4}{3}$t，
∴EN=DM=$\frac{4}{3}$t，
同理可得，△BEN∽△BAC，
∴$\frac{BN}{BC}$=$\frac{EN}{AC}$，即$\frac{BN}{4}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{3}$，
∴NB=$\frac{16}{9}$t，
∴點N的運動速度：$\frac{16}{9}$t÷t=$\frac{16}{9}$，
∴點N的運動速度為每秒$\frac{16}{9}$個單位長度；

（3）當點N、M相遇時，有$\frac{16}{9}$t+t=5，
解得t=$\frac{9}{5}$，
當點N、M相遇后繼續運動，點N先到達A點，此時點M停止運動，
則有$\frac{16}{9}$t=5，
解得t=$\frac{45}{16}$，
若矩形DENM為正方形，則DM=MN，分兩種情況：
①相遇前：當0＜t＜$\frac{9}{5}$時，DM=$\frac{4}{3}$t，MN=5-t-$\frac{16}{9}$t=5-$\frac{25}{9}$t，
∴$\frac{4}{3}$t=5-$\frac{25}{9}$t，
解得t=$\frac{45}{37}$；
②相遇后：當$\frac{9}{5}$＜t≤$\frac{45}{16}$時，DM=$\frac{3}{4}$（5-t），MN=t-$\frac{9}{16}$（5-t），
∴$\frac{3}{4}$（5-t）=t-$\frac{9}{16}$（5-t），
解得t=$\frac{105}{37}$＞$\frac{45}{16}$（舍去），
綜上所述，當t=$\frac{45}{37}$時，矩形DENM為正方形．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質以及正方形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是根據相似三角形的對應邊成比例列出比例式進行計算．解題時注意分類思想的運用．