Question

認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．

探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+

1

2

∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC，∠ACB的角平分線
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A
（1）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．
（2）探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（4）運(yùn)用：如圖5，五邊形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分別是∠FCD、∠GDC，CP、DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點(diǎn)P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，則∠CPD=

95

度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義可得∠2=

1

2

∠ACD=

1

2

（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；
（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答；
（3）同（1）的求解思路；
（4）同（2）的求解思路．

解答：解：（1）探究2結(jié)論：∠BOC=

1

2

∠A．
理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，
∴∠2=

1

2

∠ACD=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一個(gè)外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=

1

2

∠A+∠1-∠1=

1

2

∠A，
即∠BOC=

1

2

∠A；

（2）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠OCB=

1

2

（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-

1

2

（∠A+∠ACB）-

1

2

（∠A+∠ABC），
=180°-

1

2

（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
=180°-

1

2

（180°+∠A），
=90°-

1

2

∠A；

（3）∠OBC+∠OCB=

1

2

（360°-∠A-∠D），
在△BOC中，∠BOC=180°-

1

2

（360°-∠A-∠B）=

1

2

（∠A+∠D）；

（4）∵∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，
∴∠BCD+∠CDE=（5-2）•180°-140°-120°-90°=190°，
∴∠PCD+∠PDC=

1

2

（180°×2-190°）=85°，
在△BOC中，∠BOC=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-85°=95°．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．