Question

（2013•襄城區(qū)模擬）如圖，△ABC是邊長為5的等邊三角形，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△EDC，連接BD，交AC于F．
（1）猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）求線段BD的長．

Answer 1

分析：（1）AC與BD互相垂直平分．如圖，連接AD構(gòu)建菱形ABCD，則菱形的對角線互相垂直平分；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的長．

解答：解：（1）AC與BD互相垂直平分．
證明：連接AD，由題意知，△ABC≌△EDC，∠ACE=120°，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=DC=BC=DE=5，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠E=60°，
∴∠ACE+∠ACB=120°+60°=180°，
∴B、C、E三點(diǎn)在一條直線上．
∴AB∥DC，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴AC與BD互相垂直平分；

（2）由（1）知，四邊形ABCD為菱形，
∴∠DBE=

1

2

∠ABC=30°，
∵∠DBE+∠BDE+∠E=180°，
∴∠BDE=90°．
∵B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，
∴BE=10，
∴BD=

BE2-DE2

=

102-52

=5

3

．

點(diǎn)評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．