Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC=，且∠BAC=120°，點D是線段BC上的一動點(不與點B、C重合)，連接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于點E．

（1）求證：∠BAD∠EDC；

（2）當BD= 時，△ABD≌△EDC，并說明理由．

（3）當△ADE是直角三角形時，求AD的長？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）或1

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理得出∠B=30°，然后根據三角形外角的性質即可得出結論；

（2）先求出DC的長，可得到AB=DC．根據ASA即可證明△ABD≌△EDC；

（3）分兩種情況討論：①當∠DAE=90°時，△CAD是含30°角的直角三角形，可得出AC=AD=2，求出AD的長即可．

②當∠DEA=90°時，∠DAE=∠BAD=60°，得到△ABD是含30°角的直角三角形，即可得到AD的長．

（1）∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°．

又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．

又∵∠ADE=30°，∴∠BAD=∠EDC．

（2）當BD=時，△ABD≌△EDC．理由如下：

∵BD=，BC=，∴DC==2，∴AB=DC．

在△ABD和△EDC中，∵∠B=∠C，AB=DC，∠BAD=∠EDC，∴△ABD≌△EDC．

（3）①當∠DAE=90°時．

∵∠C=30°，∴AC=AD=2，∴AD==．

②當∠DEA=90°時，∠DAE=∠BAD=60°．

又∵∠B=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB=1．

綜上所述：當△ADE 是直角三角形時，AD=或1．