Question

【題目】數學課上，李老師出示了如下框中的題目．

小明與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結論

當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE______DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）一般情況，證明結論：

如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你繼續完成對以上問題（1）中所填寫結論的證明）

（3）拓展結論，設計新題：

在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC． 若△ABC的邊長為1，AE=2，則CD的長為_______（請直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=；（3）1或3．

【解析】

（1）當E為中點時，過E作EF∥BC交AC于點F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；

（2）類似（1）過E作EF∥BC交AC于點F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；

（3）分為四種情況：畫出圖形，根據等邊三角形性質求出符合條件的CD即可．

解：（1）如圖1，過點E作EF∥BC，交AC于點F，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，

∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，

∴∠EDB=∠FEC，

在△BDE和△FEC中，

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD=EF，

∴AE=BD，

故答案為：=；

（2）如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，

∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，

∴∠EDB=∠FEC，

在△BDE和△FEC中

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD=EF，

∴AE=BD．

（3）解：分為四種情況：

如圖3，

∵AB=AC=1，AE=2，

∴B是AE的中點，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），

∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD=2BE=2（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），

即CD=1+2=3．

如圖4，

過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，

∵等邊三角形ABC，EC=ED，

∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴，

∵△ABC邊長是1，AE=2，

∴，

∴MN=1，

∴CM=MN﹣CN=1﹣=，

∴CD=2CM=1；

如圖5，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內角和定理，

∴此時不存在EC=ED；

如圖6，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此時ED≠EC，

∴此時情況不存在，

答：CD的長是3或1．

故答案為：1或3．