Question

【題目】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．點F是點E關于AB的對稱點，連接AF、BF．

（1）求AF和BE的長；

（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度）．當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值．

（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△ABF為△A′BF′，在旋轉過程中，設A′F′所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q．是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】1）；；（2）；（3）存在，2 或 或 或

【解析】

（1）利用矩形性質、求解，結合AE ⊥BD利用等面積法求解AE，利用勾股定理求解BE，由軸對稱的性質可得答案．

（2）依題意畫出圖形，如圖2所示．利用平移性質，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；

（3）在旋轉過程中，等腰△DPQ有4種情形，如圖3所示，對于各種情形分別進行計算．

解：（1）矩形ABCD，

是點E關于AB的對稱點，

（2）由對稱點性質可知，

設平移中的三角形為△A′B′F′，

如圖2所示： ∠1=∠2．

由平移性質可知，AB∥A′B′，

∠4=∠1，BF=B′F′=．

①當點F′落在AB上時，

∵AB∥A′B′，

∴∠3=∠4，

∴∠3=∠2，

∴BB′=B′F′=，即m=；

②當點F′落在AD上時， ∵AB∥A′B′，

∴∠6=∠2，

∵∠1=∠2，∠5=∠1，

∴∠5=∠6，

A′B′⊥AD，

∴△B′F′D為等腰三角形，

∴B′D=B′F′=，

∴BB′=BD-B′D=

綜上：或

（3）存在．

理由如下：假設存在， 在旋轉過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：

①如圖3-1所示，點Q落在BD延長線上，且PD=DQ，

∠2=2∠Q，

∵∠1=∠3+∠Q，

∴∠3=∠Q，

∴A′Q=A′B=AB=3，

∴F′Q=F′A′+A′Q=

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：

BQ

∴DQ=BQ-BD=；

②如答圖3-2所示，點Q落在BD上，且PQ=DQ， ∴∠2=∠P，

同理 ∠1=∠2，

∴∠1=∠P，

∴BA′∥PD，

∵PD∥BC，

∴此時點A′落在BC邊上．

∵PD∥BC，

∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴BQ=A′Q，

∴F′Q=F′A′-A′Q=-BQ．

在Rt△BQF′中，由勾股定理得：

解得：

∴DQ=BD-BQ；

③如圖3-3所示，點Q落在BD上，且PD=DQ，則∠3=∠4．

∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，

同理∠1=∠2，∠4=．

∴∠A′QB=∠A′BQ，

∴A′Q=A′B=3，

∴F′Q=A′Q-A′F′

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：

BQ

∴DQ=BD-BQ；

④如圖3-4所示，點Q落在BD上，且PQ=PD，則∠2=∠3．

同理∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴BQ=BA′=3，

∴DQ=BD-BQ．

綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使△DPQ為等腰三角形； DQ的長度分別為 或 或 或．