Question

【題目】如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AC于點E，過點E作EF⊥AB于點F，延長EF交CB的延長線于點G，且∠ABG=2∠C．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若，⊙O的半徑是3，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】分析：（1）連接EO，由∠EOG=2∠C、∠ABG=2∠C知∠EOG=∠ABG，從而得AB∥EO，根據EF⊥AB得EF⊥OE，即可得證；

（2）由∠ABG=2∠C、∠ABG=∠C+∠A知∠A=∠C，即BA=BC=6，在Rt△OEG中求得OG==5、BG=OG-OB=2，在Rt△FGB中求得BF=BGsin∠EGO，根據AF=AB-BF可得答案．

詳解：（1）如圖，連接EO，則OE=OC，

∴∠EOG=2∠C，

∵∠ABG=2∠C，

∴∠EOG=∠ABG，

∴AB∥EO，

∵EF⊥AB，

∴EF⊥OE，

又∵OE是⊙O的半徑，

∴EF是⊙O的切線；

（2）∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A，

∴∠A=∠C，

∴BA=BC=6，

在Rt△OEG中，∵sin∠EGO=，

∴OG=，

∴BG=OG﹣OB=2，

在Rt△FGB中，∵sin∠EGO=，

∴BF=BGsin∠EGO=2×，

則AF=AB﹣BF=6﹣．