Question

【題目】解答題
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，AE⊥BF于點M，求證：AE=BF；
（2）如圖2，將 （1）中的正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于點M，探究AE與BF的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠C，AB=BC．

∵AE⊥BF，

∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABM+∠CBF=90°，

∴∠BAM=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴AE=BF；

（2）解：AB= BC，

理由：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠C，

∵AE⊥BF，

∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABM+∠CBF=90°，

∴∠BAM=∠CBF，

∴△ABE∽△BCF，

∴ = ，

∴AE= BF．

【解析】（1）根據正方形的性質，可得∠ABC與∠C的關系，AB與BC的關系，根據兩直線垂直，可得∠AMB的度數，根據直角三角形銳角的關系，可得∠ABM與∠BAM的關系，根據同角的余角相等，可得∠BAM與∠CBF的關系，根據ASA，可得△ABE≌△BCF，根據全等三角形的性質，可得答案；（2）根據矩形的性質得到∠ABC=∠C，由余角的性質得到∠BAM=∠CBF，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】掌握正方形的性質和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．