Question

【題目】如圖，邊長為5的正方形OABC的頂點O在坐標原點處，點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點E是OA邊上的點(不與點A重合)，EF⊥CE，且與正方形外角平分線AG交于點P.

(1)求證：CE=EP.

(2)若點E的坐標為(3，0)，在y軸上是否存在點M，使得四邊形BMEP是平行四邊形?若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點M的坐標為(0，2).

【解析】（1）在OC上截取OK=OE．連接EK，求出∠KCE=∠CEA，根據ASA推出△CKE≌△EAP，根據全等三角形的性質得出即可；

（2）過點B作BM∥PE交y軸于點M，根據ASA推出△BCM≌△COE，根據全等三角形的性質得出BM=CE，求出BM=EP．根據平行四邊形的判定得出四邊形BMEP是平行四邊形，即可求出答案．

（1）在OC上截取OK=OE．連接EK，如圖1．

∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°．

∵AP為正方形OCBA的外角平分線，∴∠BAP=45°，∴∠EKC=∠PAE=135°，∴CK=EA．

∵EC⊥EP，∴∠CEF=∠COE=90°，

∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，∴∠KCE=∠CEA．

在△CKE和△EAP中，∵ ，

∴△CKE≌△EAP，∴EC=EP；

（2）y軸上存在點M，使得四邊形BMEP是平行四邊形．

如圖，過點B作BM∥PE交y軸于點M，連接BP，EM，如圖2，

則∠CQB=∠CEP=90°，所以∠OCE=∠CBQ．

在△BCM和△COE中，∵，

∴△BCM≌△COE，∴BM=CE．

∵CE=EP，∴BM=EP．

∵BM∥EP，∴四邊形BMEP是平行四邊形．

∵△BCM≌△COE，∴CM=OE=3，∴OM=CO﹣CM=2．

故點M的坐標為（0，2）．