Question

（2007•婁底）經過x軸上A（-1，0）、B（3，0）兩點的拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點C，設拋物線的頂點為D，若以DB為直徑的⊙G經過點C，求解下列問題：
（1）用含a的代數式表示出C，D的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）如圖，當a＜0時，能否在拋物線上找到一點Q，使△BDQ為直角三角形？你能寫出Q點的坐標嗎？

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據A，B的坐標，用交點式二次函數通式來設出拋物線的解析式，進而可得出D，C的坐標．
（2）本題的關鍵是求出a的值．可通過相似三角形來求解，過D作DE⊥y軸于E，易知△DEC∽△COB，可通過得出的關于DE，CO，EC，OB的比例關系式，求出a的值．進而可求出拋物線的解析式．
（3）本題要分兩種情況進行討論．
①當∠BDQ=90°時，此時DQ是圓G的切線，設DQ交y軸于M，那么可通過求直線DM的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可求出Q點的坐標．
②當∠DBQ=90°時，可過Q作x軸的垂線，設垂足為F，先設出Q點的坐標，然后根據相似三角形DHB和BFQ得出的關于DH，BF，BH，FQ的比例關系式，求出Q點的坐標．
③當∠BQD=90°時，顯然此時Q，C重合，因此Q點的坐標即為C點的坐標．
綜上所述可得出符合條件的Q點的坐標．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）
則y=a（x²-2x-3）=a（x-1）²-4a
則點D的坐標為D（1，-4a）
點C的坐標為C（0，-3a）

（2）如圖①所示，過點D作DE⊥y軸于E，如圖①所示：
則有△DEC∽△COB
∴
∴
∴a²=1a=±1
故拋物線的解析式為y=x²-2x-3或y=-x²+2x+3；

（3）a＜0時，a=-1，拋物線y=-x²+2x+3，
這時可以找到點Q，很明顯，點C即在拋物線上，
又在⊙G上，∠BCD=90°，這時Q與C點重合，點Q坐標為Q（0，3）．
如圖②，若∠DBQ為90°，作QF⊥y軸于F，DH⊥x軸于H
可證Rt△DHB∽Rt△BFQ
有
則點Q坐標（k，-k²+2k+3）
即
化簡為2k²-3k-9=0
即（k-3）（2k+3）=0
解之為k=3或．
由得Q坐標：．
若∠BDQ為90°，
如圖③，延長DQ交y軸于M，
作DE⊥y軸于E，DH⊥x軸于H
可證明△DEM∽△DHB
即，
則
得，點M的坐標為DM所在的直線方程為
則與y=-x²+2x+3的解為，
得交點坐標Q為
即滿足題意的Q點有三個，（0，3），．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和應用、函數圖象交點等知識，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．