Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB，點E、F分別在AD、AB上，AE=BF，DF與CE相交于點P；
（1）求證：∠ADF=∠DCE；
（2）求∠DPC的度數．

Answer 1

分析：（1）根據AD=AB、AE=BF得到AF=DE，再根據等腰梯形可以得出∠A=∠ADC，AB=CD=AD，所以△FAD≌△EDC，又全等三角形的對應角相等，此題得證；
（2）過A作AG∥CD得到等邊三角形，求出∠B=60°，所以上底角是120°，再根據∠ADF=∠DCE和三角形內角和定理即可求出．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC
∴∠BAD=∠ADC，AB=CD
∵BC=2AB=2AD，AE=BF
∴AF=DE，AD=DC，
在△FAD和△EDC中

AF=DE ∠BAD=∠ADC AD=DC

，
∴△FAD≌△EDC（SAS）
∴∠ADF=∠DCE．（5分）

（2）解：過A作AG∥CD交BC于點G
∴四邊形ADCG為平行四邊形
∴AG=CD，AD=GC
∵BC=2AD=2CD
∴BG=CG=AG=AB
∴△ABG是等邊三角形
∴∠B=60°
∴∠BAD=∠ADC=120°
∵∠ADF=∠DCE
∴∠DCE+∠FDC=∠ADF+∠FDC=∠ADC=120°
∴∠DPC=180°-120°=60°．（10分）

點評：本題第一問考查三角形全等的證明，比較簡單；第二問中作輔助線得到等邊三角形是解題的關鍵，也是解本題的難點，梯形的問題，主要考查的就是作輔助線．