Question

（本題滿分12分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長(zhǎng)；
（3）P為此拋物線在第二象限圖像上的一點(diǎn)，PG垂直于軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1︰2兩部分.

Answer 1

（1）
（2）劣弧EF的長(zhǎng)為：
（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，△PGA的面積被直線AC分成1︰2兩部分解析:
（本小題滿分12分）
解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．
∴， 解得.
∴拋物線的解析式為：.          …………………………3分
（2）易知拋物線的對(duì)稱軸是.把x=4代入y=2x得y=8，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,8）．
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8．                   …………………………4分
連結(jié)DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M．
在Rt△MFD中，F(xiàn)D=8，MD=4．∴cos∠MDF=．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．                       …………………………6分
∴劣弧EF的長(zhǎng)為：．                   …………………………7分
（3）設(shè)直線AC的解析式為y="kx+b. " ∵直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn).
∴，解得.∴直線AC的解析式為：. ………8分
設(shè)點(diǎn)，PG交直線AC于N，
則點(diǎn)N坐標(biāo)為.∵.
∴①若PN︰GN=1︰2，則PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.
當(dāng)m=－3時(shí)，=.
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.                        …………………………10分
②若PN︰GN=2︰1，則PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即=.
解得：，（舍去）.當(dāng)時(shí)，=.
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，△PGA的面積被直線AC分成1︰2兩部分．                                              …………………12分