Question

【題目】如圖①，拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a與x軸交于A、B兩點（點A位于點B的左側），與y軸交于點C．已知△ABC的面積為6．

（1）求這條拋物線相應的函數表達式；

（2）在拋物線上是否存在一點P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，M是拋物線上一點，N是射線CA上的一點，且M、N兩點均在第二象限內，A、N是位于直線BM同側的不同兩點．若點M到x軸的距離為d，△MNB的面積為2d，且∠MAN＝∠ANB，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）存在，點P坐標為或；（3）點N的坐標為（﹣4，1）

【解析】

（1）分別令y＝0 ,x＝0,可表示出A、B、C的坐標，從而表示△ABC的面積，求出a的值繼而即可得二次函數解析式；

（2）如圖①，當點P在x軸上方拋物線上時，平移BC所在的直線過點O交x軸上方拋物線于點P，則有BC∥OP，此時∠POB＝∠CBO，聯立拋物線得解析式和OP所在直線的解析式解方程組即可求解；當點P在x軸下方時，取BC的中點D，易知D點坐標為（，），連接OD并延長交x軸下方的拋物線于點P，由直角三角形斜邊中線定理可知，OD＝BD，∠DOB＝∠CBO即∠POB＝∠CBO，聯立拋物線的解析式和OP所在直線的解析式解方程組即可求解．

（3）如圖②，通過點M到x軸的距離可表示△ABM的面積，由S△ABM＝S△BNM，可證明點A、點N到直線BM的距離相等,即AN∥BM，通過角的轉化得到AM＝BN，設點N的坐標，表示出BN的距離可求出點N．

（1）當y＝0時，x2﹣（a+1）x+a＝0，

解得x1＝1，x2＝a，

當x＝0，y＝a

∴點C坐標為（0，a），

∵C（0，a）在x軸下方

∴a＜0

∵點A位于點B的左側，

∴點A坐標為（a，0），點B坐標為（1，0），

∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，

∵△ABC的面積為6，

∴，

∴a1＝﹣3，a2＝4（因為a＜0，故舍去），

∴a＝﹣3，

∴y＝x2+2x﹣3；

（2）設直線BC：y＝kx﹣3，則0＝k﹣3，

∴k＝3；

①當點P在x軸上方時，直線OP的函數表達式為y＝3x，

則，

∴，，

∴點P坐標為；

②當點P在x軸下方時，直線OP的函數表達式為y＝﹣3x，

則

∴，，

∴點P坐標為，

綜上可得，點P坐標為或；

（3）如圖，過點A作AE⊥BM于點E，過點N作NF⊥BM于點F，設AM與BN交于點G，延長MN與x軸交于點H；

∵AB＝4，點M到x軸的距離為d，

∴S△AMB＝

∵S△MNB＝2d，

∴S△AMB＝S△MNB，

∴，

∴AE＝NF，

∵AE⊥BM，NF⊥BM，

∴四邊形AEFN是矩形，

∴AN∥BM，

∵∠MAN＝∠ANB，

∴GN＝GA，

∵AN∥BM，

∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，

∴∠AMB＝∠NBM，

∴GB＝GM，

∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，

在△AMB和△NBM中

∴△AMB≌△NBM（SAS），

∴∠ABM＝∠NMB，

∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

又∵AN∥BM，

∴∠ABM＝∠OAC＝45°，

∴∠NMB＝45°，

∴∠ABM+∠NMB＝90°，

∴∠BHM＝90°，

∴M、N、H三點的橫坐標相同，且BH＝MH，

∵M是拋物線上一點，

∴可設點M的坐標為（t，t2+2t﹣3），

∴1﹣t＝t2+2t﹣3，

∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），

∴點N的橫坐標為﹣4，

可設直線AC：y＝kx﹣3，則0＝﹣3k﹣3，

∴k＝﹣1，

∴y＝﹣x﹣3，

當x＝﹣4時，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，

∴點N的坐標為（﹣4，1）．