Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且DE＝AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點F．

（1）求證：OE＝CD；

（2）若菱形ABCD的邊長為8，∠ABC＝60°，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4．

【解析】

（1）先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據菱形的對角線互相垂直求出∠COD＝90，證明OCED是矩形，可得OE＝CD；

（2）根據菱形的性質以及勾股定理，得出AC與CE的長，再根據勾股定理得出AE的長度即可．

解：

（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．

又∵DE＝AC，

∴DE＝OC．

∵DE∥AC，

∴四邊形OCED是平行四邊形．

∵∠COD＝90，

∴平行四邊形OCED是矩形．

∴OE＝CD．

（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC＝AB＝8，AO＝4．

∴在矩形OCED中，CE＝OD＝，

又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90，

∴在Rt△ACE中，AE＝＝4．