Question

【題目】如圖所示，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延長線交于點D，DE⊥PO交PO延長線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若PB=9，DB=12，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠OBP=∠E=90°，

∵OB為圓的半徑，

∴PB為圓O的切線

（2）解：在Rt△PBD中，PB=9，DB=12，

根據勾股定理得：PD= =15，

∵PD與PB都為圓的切線，

∴PC=PB=9，

∴DC=PD﹣PC=15﹣9=6，

在Rt△CDO中，設OC=r，則有DO=12﹣r，

根據勾股定理得：（12﹣r）2=r2+62，

解得：r=4.5，

則圓的半徑為4.5

【解析】（1）由已知在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB及對頂角相等，得出∠OBP=∠E，再根據垂直的定義證得∠OBP是直角，即可得證。
（2）先在Rt△PBD中根據勾股定理求出PD的長，再根據切線長定理得出PC=PB，再轉化到Rt△CDO中根據勾股定理建立方程，即可求出圓的半徑。
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．