Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c交x軸于點A(2，0)、B（一8，0），交y軸于點C，過點A、B、C三點的⊙M與y軸的另一個交點為D．

(1)求此拋物線的表達式及圓心M的坐標；

(2)設P為弧BC上任意一點（不與點B，C重合），連接AP交y軸于點N，請問：AP·AN是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；

(3)延長線段BD交拋物線于點E，設點F是線段BE上的任意一點（不含端點），連接AF．動點Q從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到點F，再沿線段FB以每秒個單位的速度運動到點B后停止，問當點F的坐標是多少時，點Q在整個運動過裎中所用時間最少？

Answer 1

【答案】（1）M(－3,0) （2）定值是20 （3）F(－2,－3)

【解析】(1)、根據點A和點B的坐標得出函數解析式，從而得出點C的坐標以及AB、AC和BC的長度，從而得出△ABC為直角三角形，根據圓的性質得出點M的坐標；(2)、根據題意得出△APB和△AON相似，從而得出答案；(3)、過點B在BE的下面作射線BI，交y軸于點I，過點A做AH⊥BI，垂足為點H,與射線BE的交點即為運動時間最少時點F的位置，過點D做DK⊥BI，垂足為K，根據勾股定理得出點I的坐標，從而得出BI和AH的函數表達式，根據交點問題列出方程得出點F的坐標．

(1)、將A（2，0）、B（－8，0）兩點代入得： ，

解得： ，∴拋物線的表達式為： ，∴ C(0，4)，

∴ BC＝4， AC＝2，AB＝10， ∴△ABC為直角三角形,且∠ACB＝90°，

∵∠ACB＝90°， ∴AB為直徑， ∴M(－3，0)；

(2)、如圖: ∵AB為直徑， ∴∠APB＝90°， ∵∠APB＝∠AON, ∠NAO＝∠BAP，

∴△APB∽△AON，∴， ∴AN·AP＝AB·AO＝20，∴為定值,定值是20．

(3)、過點B在BE的下面作射線BI，交y軸于點I，

過點A做AH⊥BI，垂足為點H,與射線BE的交點即為運動時間最少時點F的位置，

過點D做DK⊥BI，垂足為K， ∵BE平分∠ABI，∴DI＝DO＝4，BO＝BK＝8，

設DI＝x,則KI＝2x－8， ∴16＋＝， (舍去)，

∴I(0，) ， ∴BI表達式為:， ∴AH表達式為，

∵BD表達式為， ∴， ∴＝－2， ∴F(－2，－3) ．