Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延長線交于點D，DE⊥PO交PO延長線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB.

（1）求證：PB是的切線；
（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠OBP=∠E=90°，

∵OB為圓的半徑，

∴PB為圓O的切線.

（2）

解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，

根據勾股定理得：PD==10，

∵PD與PB都為圓的切線，

∴PC=PB=6，

∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，

在Rt△CDO中，設OC=r，則有DO=8﹣r，

根據勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，

解得：r=3，

則圓的半徑為3．

【解析】（1）由已知角相等，及對頂角相等得到三角形DOE與三角形POB相似，利用相似三角形對應角相等得到∠OBP為直角，即可得證；
（2）在直角三角形PBD中，由PB與DB的長，利用勾股定理求出PD的長，由切線長定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的長，在直角三角形OCD中，設OC=r，則有OD=8﹣r，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑．