Question

【題目】如圖，點B為AC上一點，分別以AB，BC為邊在AC同側作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，點P，M，N分別為AC，AD，CE的中點．

(1)求證：PM＝PN；

(2)求∠MPN的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2) ∠MPN＝120°.

【解析】試題分析：（1）連接CD、AE,由△ABD和△BCE是等邊三角形得AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，易證△ABE≌△DBC，得AE＝DC，再由三角形中位線的性質可證PM＝PN；

（2）如圖，設PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，易證四邊形PFHG為平行四邊形，故∠MPN＝120°.

試題解析：(1)如圖，連接CD，AE.由三角形中位線定理可得PM=CD，PN=AE，∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.

∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.

(2)如圖，設PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.

∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.

易證四邊形PFHG為平行四邊形，∴∠MPN＝120°.