Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為8，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設CE=a，CF=b．

（1）如圖①，當a=8時，b的值為 ；

（2）如圖②，當∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；

（3）請寫出∠EAF繞點A旋轉的過程中a，b滿足的關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）16；（2）；（3），理由見解析

【解析】

（1）先判斷出∠AFC+∠CAF=45°，判斷出∠CAF=∠AEC，進而判斷出△ACF∽△ECA，即可得出結論；

（2）先證明△ACF≌△ACE，從而得到CF=CE，然后再證明△ACE為等腰三角形，則CE=AC=8；

（3）先判斷出∠AFC+∠CAF=45°，判斷出∠CAF=∠AEC，進而判斷出△ACF∽△ECA，即可得出結論．

（1）∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠BCD=90°，∠ACB=45°，

∴∠ACF=135°，

∴∠AFC+∠CAF=45°，

∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，

∴∠CAF=∠AEC，

∵∠ACF=∠ACE=135°，

∴△ACF∽△ECA，

∴，

∴EC×CF=AC2=2AB2=128

∴ab=128，

∵a=8，

∴b=16；

（2）∵四邊形是正方形，

∴

∵是正方形的對角線，

∴，∴，

∵被對角線平分，

∴，

在和中，，

∴，∴，

∵，，

∴，

∵，

又∵，

∴，∴

在直角三角形中，

∴，即：．

（3）

理由：∵是正方形的對角線

∴，

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∵（已求）

，

∴