Question

【題目】如圖，直線y=-x+3與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為C，拋物線與對稱軸交于D點(diǎn)，連接CE、CB、BD．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：BD∥CE；

（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使以B、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；（2）證明見解析；（3）在直線AB上存在點(diǎn)P，使以B、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似，P（-，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值對應(yīng)關(guān)系可得B、A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)三角形的判斷與性質(zhì)，可得∠BDF=∠CEG，根據(jù)平行線的判定，可得答案；

（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，解方程可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案.

試題解析：（1）當(dāng)x=0時，y=3，即B點(diǎn)（0，3），當(dāng)y=0時，x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

由A、C關(guān)于x=1對稱，得C（-1，0）．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A、B、C坐標(biāo)代入，得

，

解得，

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）如圖1，

作BF⊥DE于F，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），D（1，4），

BF=1，DF=4-3=1；

當(dāng)x=1時，y=-1+3=2，即E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），G（1，0），

EG=2，CG=2．

，∠BFD=∠CGE=90°，

∴△BFD∽△CGE，

∴∠BDF=∠CEG，

∴BD∥CE；

（3）如圖2，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m+3），E（1，2），B（0，3），

由勾股定理，得

BE=，

CE=，

PB=，

BD=，

由△BDP∽△ECB，

，即，

解得m=-，-m+3=，

即P（-，），

在直線AB上存在點(diǎn)P，使以B、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似，P（-，）．