Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC邊上的中點，且△ABM≌△DCM；E、F分別是線段BM、CM的中點．
（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形．
（2）求證：EF與MN互相垂直．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=DC，

∴∠A+∠D=180°，

又∵△ABM≌△DCM，

∴∠A=∠D=90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形

（2）證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，

∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM．

∴NE=FM，NE∥FM．

∴四邊形MENF是平行四邊形．

∵△ABM≌△DCM，

∴BM=CM．

∵E、F分別是BM、CM的中點，

∴ME=MF．

∴平行四邊形MENF是菱形．

∴EF與MN互相垂直

【解析】（1）由平行四邊形的性質和全等三角形的性質得出∠A=90°，即可得出結論；（2）先證明四邊形MENF是平行四邊形，再證明平行四邊形MENF是菱形，即可得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用全等三角形的性質和平行四邊形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．