Question

如圖，AC是某市環城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其與環城路AC的交叉路口分別是A，B，C．經測量花卉世界D位于點A的北偏東45°方向，點B的北偏東30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求B，D之間的距離；
（2）求C，D之間的距離．

Answer 1

分析：（1）易證BD=AB，則很容易求解．
（2）過B作BO⊥DC，交其延長線于點O，把求CD的問題轉化為求DO和CO的問題．

解答：解：（1）如圖，由題意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°．
∵∠FBD=30°
∴∠DBC=∠FBC-∠FBD=30°．（2分）
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=15°．
∴∠DAB=∠ADB．
∴△ABD為等腰三角形，
∴BD=AB=2．
即BD之間的距離為2km．（4分）

（2）過B作BO⊥DC，交其延長線于點O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，
∴DO=2×sin60°=

3

，BO=2×cos60°=1．（6分）
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=

3

3

，
∴CD=DO-CO=

3

-

3

3

=

2 3

3

（km）．
即C，D之間的距離

2 3

3

km．（8分）

點評：考查直角三角形、銳角三角函數等基礎知識，這樣的題目可讓思維和能力不同的考生能有不同的表現．