Question

（2010•深圳）如圖所示，拋物線y=ax²+c（a＞0）經過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，其中A（-2，0），B（-1，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為y軸上任意一點，當點M到A，B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐標；
（3）在第（2）問的結論下，拋物線上的點P使S_△PAD=4S_△ABM成立，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出待定系數的值；
（2）由于A、D關于拋物線對稱軸即y軸對稱，那么連接BD，BD與y軸的交點即為所求的M點，可先求出直線BD的解析式，即可得到M點的坐標；
（3）設直線BC與y軸的交點為N，那么△ABM的面積即為梯形ABNO、△BMN、△AOM的面積差，由此可求出△ABM和△PAD的面積；在△PAD中，AD的長為定值，可根據其面積求出P點縱坐標的絕對值，然后代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）由題意可得：，
解得；
∴拋物線的解析式為：y=x²-4；

（2）由于A、D關于拋物線的對稱軸（即y軸）對稱，連接BD．
則BD與y軸的交點即為M點；
設直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0），則有：
，
解得；
∴直線BD的解析式為y=x-2，點M（0，-2）；

（3）設BC與y軸的交點為N，則有N（0，-3）；
∴MN=1，BN=1，ON=3；
S_△ABM=S_梯形AONB-S_△BMN-S_△AOM=（1+2）×3-×2×2-×1×1=2；
∴S_△PAD=4S_△ABM=8；
由于S_△PAD=AD•|y_P|=8，
即|y_P|=4；
當P點縱坐標為4時，x²-4=4，
解得x=±2，
∴P₁（-2，4），P₂（2，4）；
當P點縱坐標為-4時，x²-4=-4，
解得x=0，
∴P₃（0，-4）；
故存在符合條件的P點，且P點坐標為：P₁（-2，4），P₂（2，4），P₃（0，-4）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點及圖形面積的求法，軸對稱的性質等知識的綜合應用能力；當所求圖形不規則時，一般要將不規則圖形轉換為幾個規則圖形面積的和差來求．