Question

如圖，已知在直角坐標平面內，點A的坐標為（3，0），第一象限內的點P在直線y=2x上，∠PAO=45度．
（1）求點P的坐標；
（2）如果二次函數的圖象經過P、O、A三點，求這個二次函數的解析式，并寫出它的圖象的頂點坐標M；
（3）如果將第（2）小題中的二次函數的圖象向上或向下平移，使它的頂點落在直線y=2x上的點Q處，求△APM與△APQ的面積之比．

Answer 1

分析：（1）根據題意設點P的坐標為（x，2x），又由∠PAO=45°，PH⊥OA，可得PH=AH=2x，又由點A的坐標為（3，0），即可求得x的值，則可求得點P的坐標；
（2）利用待定系數法將點P，O，A的坐標代入解析式即可得到方程組，解方程組即可求得解析式；
（3）根據圖形求得：△APO、△AQO與四邊形AMPO的面積，即可求得△APM與△APQ的面積，則問題得解．

解答：解：（1）過點P作PH⊥OA，垂足為點H．
∵點P在直線y=2x上，
∴設點P的坐標為（x，2x）．
∵∠PAO=45°，PH⊥OA，
∴∠PAO=∠APH=45°．
∴PH=AH=2x．
∵點A的坐標為（3，0），
∴x+2x=3．
∴x=1．
∴點P的坐標為（1，2）．

（2）設所求的二次函數解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
∵圖象經過P（1，2）、O（0，0）、A（3，0）三點，
∴

2=a+b+c  0=c  0=9a+3b+c

，
解得

a=-1  b=3  c=0

，
∴所求的二次函數解析式為y=-x²+3x．
頂點M的坐標為（

3

2

，

9

4

）．

（3）根據題意，得點Q的坐標為（

3

2

，3）．
∵S_△AQO=

1

2

×3×3=

9

2

，
S_△APO=

1

2

×3×2=3，
S_{四邊形AMPO}=

1

2

×1×2+

1

2

×（2+

9

4

）×

1

2

+

1

2

×

3

2

×

9

4

=

15

4

，
∴S_△APM=

15

4

-3=

3

4

，S_△APQ=

9

2

-3=

3

2

．
∴△APM與△APQ的面積之比為

1

2

．
另解：根據題意，得點Q的坐標為（

3

2

，3）．
設圖象的對稱軸與直線AP相交于點N，則點N的坐標為（

3

2

，

3

2

）．
∴MN=

9

4

-

3

2

=

3

4

，QN=3-

3

2

=

3

2

．
∴MN=

1

2

QN，
∴

S△PMN

S△PQN

=

1

2

，

S△AMN

S△AQN

=

1

2

．
∴△APM與△APQ的面積之比為

1

2

．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法以及三角形面積的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．