Question

【題目】定義：如圖，

已知，把線段分割成，，，若，，為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點，是線段的勾股分割點．

（1）已知，把線段分割成，，，若，，，則點，是線段的勾股分割點嗎？請說明理由；

（2）已知點，是線段的勾股分割點，且為直角邊，若，，求的長．

Answer 1

【答案】(1)點M、N是線段AB的勾股分割點，理由見解析；(2) 8或10

【解析】

(1)由AM=1.5，MN=2.5，BN=2，根據勾股定理逆定理得出以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，再根據線段勾股分割點的定義即可判斷；
(2)設，則，分兩種情形①當MN為最大線段時，依題意，②當BN為最大線段時，依題意，分別列出方程即可解決問題．

(1)點M、N是線段AB的勾股分割點．

理由如下：
∵，
∴，
∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，
∴點M、N是線段AB的勾股分割點；
(2)設，則，
①當為最大線段時，依題意，
即，
解得：；
②當BN為最大線段時，依題意．
即，
解得：；
綜上所述，BN=8或10．