Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜邊CB上取點M，N（不包含C、B兩點），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，設MN=x，BM=n，CN=m，則以下結論能成立的是（　　）

A. m=n B. x=m+n C. x＞m+n D. x2=m2+n2

Answer 1

【答案】D

【解析】

將△ABM繞點A順時針旋轉90°至△ACN′，連接NN′；證明△AMN≌△ANN′，則有MN＝NN′；在Rt△NN'C′中，根據勾股定理可得結論．

∵tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，

∴∠B＝∠C＝∠MAN＝45°，

∵∠CAB＝90°，

∴AC＝AB，

將△BAM繞點A順時針旋轉90°至△ACN′，點B與點C重合，點M落在N′處，連接NN′，

則有AN′＝AM，CN′＝BM，∠1＝∠3，

∵∠MCN＝45°，

∴∠1＋∠2＝45°，

∴∠2＋∠3＝45°，

∴∠NAN′＝∠MAN．

在△MAN與△NAN′中，

，

∴△MAN≌△NCN′（SAS），

∴MN＝NN′，

由旋轉性質可知，∠ACN′＝∠B＝45°，

∴∠NCN′＝∠ACN′＋∠ACB＝90°，

∴NN'2＝NC2＋N'C2，

即x2＝n2＋m2，

故選：D．