Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(4，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)．

(1)求線段AB的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上的一個(gè)點(diǎn)，若以AB為直角邊構(gòu)造直角三角形△ABM，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)如圖2，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負(fù)半軸與點(diǎn)C，射線AD交y軸的負(fù)半軸與點(diǎn)D，當(dāng)∠CAD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，OCOD的值是否發(fā)生變化?若不變，直接寫(xiě)出它的值；若變化，直接寫(xiě)出它的變化范圍(不要求寫(xiě)解題過(guò)程)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不變，

【解析】

（1）利用勾股定理求解即可；

（2）分∠BAM=90°或∠ABM=90°兩種情況構(gòu)造直角三角形，然后運(yùn)用勾股定理求解即可；

（3）過(guò)A分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為G、H，可證明△AGC≌△AHD，可得到GC=HD，從而可把OC-OD轉(zhuǎn)化為HD-OD，再利用線段的和差可求得OC-OD=OG+OH=8．

（1）作AE⊥x軸于點(diǎn)E

∵點(diǎn)A(4，4)，點(diǎn)B(0，2)，．

∴AE=4， BE=6．

∴線段AB

(2)∵△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，

∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°，

①當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，如圖1，

過(guò)A作AB的垂線，交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M2，

設(shè)M1（x，0），

AM12=(-4-x)2+(4-0)2=x2+8x+32，

BM12=(2+x)2=x2+4x+4，

AB2=52

∵AM12+AB2 =BM12

∴x2+8x+32+52=x2+4x+4，

得：x=-20，

∴M1（-20，0）

設(shè)M2（0，y）

AM22=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32， BM22=22+y2 =y2+4， AB2=52

∵AM22+AB2 =BM22

∴y2-8y+32+52=y2+4

得：y=10，

∴M2（0，10）

②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，如圖2，

過(guò)B作AB的垂線，交y軸于點(diǎn)M3，

設(shè)M3（0，y）

AM32=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，

BM32=22+y2 =y2+4，

AB2=52

∵BM32+AB2 =AM32

∴y2+4+52=y2-8y+32

得：y=-3，

∴M3（0，-3）

綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（-20，0），M2（0，10），M3（0，-3）

(3)不變．OCOD=8．

理由如下：

過(guò)點(diǎn)A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為G、H，如圖3．

則∠AGC=∠AHD=90°，

又∵∠HOC=90°，

∴∠GAH=90°，

∴∠DAG+∠DAH=90°，

∵∠CAD=90°，

∴∠DAG+∠CAG=90°，

∴∠CAG=∠DAH．

∵A(4，4)，

∴OG=AH=AG=OH=4．

在△AGC和△AHD中

∠AGC=∠AHD，AG=AH，∠CAG=∠DAH

∴△AGC≌△AHD(ASA)，

∴GC=HD．

∴OCOD=(OG+GC)(HDOH)=OG+OH=8．

故OCOD的值不發(fā)生變化，值為8