Question

已知：如圖一，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線經過A、C兩點，且AB=2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E,D，同時動點P從點B出發，沿BO方向以每秒2個單位速度運動，（如圖2）；當點P運動到原點O時，直線DE與點P都停止運動，連DP，若點P運動時間為t秒 ；設，當t 為何值時，s有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）y=-1/4 x²+3/2 x-2（2）1（3）當t=2 /3 或t=10/ 7 時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，證明見解析

【解析】解：（1）由拋物線y=ax²+bx-2得：C（0，-2），

∴OA=OC=2，

∴A（2，0），

∵△ABC的面積為2，

∴AB=2，

∴B（4，0），

∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-4），代入點C（0，-2），

a=-1/4 ，

∴拋物線的解析式為y=-1/4 (x-2)(x-4)=-1/4 x2+3/2 x-2，

答：拋物線的解析式為y=-1/4 x²+3/2 x-2．

（2）解：由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，

∵ED∥BA

可得：ED /OB =CE /CO ，

即ED/4 =CE/2 ，

∴ED=2CE=2t，

①1/ED +1/OP =1/2t +1/4-2t =4/2t(4-2t) =1/-t2+2t ，

∵當t=1時，-t2+2t有最大值1，

∴當t=1時1 ED +1 OP 的值最小，最小值為1．

答：當t為1時，1/ED +1/OP 的值最小，最小值是1．

②解：由題意可求：CD= 5 t，CB=2 5 ，

∴BD=2 5 - 5 t，

∵∠PBD=∠ABC，

∴以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況：

當BP AB =BD BC 時，即2t 2 =2 5 - 5 t 2 5  ，

解得：t=2 3 ，

當BP BD =BC BA 時，即2t 2 5 - 5 t =2 5  2 ，

解得：t=10 7 ，

當t=2/3 或t=10/7 時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似．

答：存在t的值，使以P，B，D為頂點的三角形與△ABC相似，t的值是2/3 或10/7 ．

（1）求出C的坐標，得到A、B的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-4），代入點C的坐標求出a即可；

（2）①由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出EDOB =CE CO ，求出ED=2CE=2t，根據1 ED +1 OP =1 2t +1 4-2t =4 2t(4-2t) =1 -t2+2t ，求出即可；

②以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況：BP AB =BD BC 和BP BD =BC BA 代入求出即可．