Question

【題目】如圖，⊙M與菱形ABCD在平面直角坐標系中，點M的坐標為（﹣3，1），點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（1，﹣ ），點D在x軸上，且點D在點A的右側．

（1）求菱形ABCD的周長；
（2）若⊙M沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度平移，菱形ABCD沿x軸向左以每秒3個單位長度的速度平移，設菱形移動的時間為t（秒），當⊙M與AD相切，且切點為AD的中點時，連接AC，求t的值及∠MAC的度數；
（3）在（2）的條件下，當點M與AC所在的直線的距離為1時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點B作BE⊥AD，垂足為E．

∵B（1，﹣ ），A（2，0），

∴BE= ，AE=1．

∴AB= =2．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC=CD=AD．

∴菱形的周長=2×4=8．

（2）解：如圖2所示：⊙M與x軸的切線為F，AD的中點為E．

∵M（﹣3，1），

∴F（﹣3，0）．

∵AD=2，且E為AD的中點，

∴E（3，0）．

∴EF=6．

∴2t+3t=6．

解得：t= ．

平移的圖形如圖3所示：過點B作BE⊥AD，垂足為E，連接MF，F為⊙M與AD的切點．

∵由（1）可知；AE=1，BE= ，

∴tan∠EAB= ．

∴∠EAB=60°．

∴∠FAB=120°．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠FAC= ∠FAB= ×120°=60°．

∵AD為⊙M的切線，

∴MF⊥AD．

∵F為AD的中點，

∴AF=MF=1．

∴△AFM為等腰直角三角形．

∴∠MAF=45°．

∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=45°+60°=105°．

（3）解：如圖4所示：連接AM，過點作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．

∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=120°，

∴∠DAC=60°．

∵AC、AD是圓M的切線，

∴∠MAE=30°．

∵ME=MN=1，

∴EA= ．

∴3t+2t=5﹣ ．

∴t=1﹣ ．

如圖5所示：連接AM，過點作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．

∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=120°，

∴∠DAC=60°．

∴∠NAE=120°．

∵AC、AD是圓M的切線，

∴∠MAE=60°．

∵ME=MN=1，

∴EA= ．

∴3t+2t=5+ ．

∴t=1+ ．

綜上所述當t=1﹣ 或t=1+ 時，圓M與AC相切．

【解析】（1）過點B作BE⊥AD，垂足為E．由A、B的坐標和勾股定理可求出AB的長，進而可得菱形ABCD的周長；
（2）設⊙M與x軸的切線為F，AD的中點為E.根據題意易求出EF的長，從而求出t的值；過點B作BE⊥AD，垂足為E，連接MF，F為⊙M與AD的切點．根據AD是圓M的切線和菱形的性質，可證得△AFM為等腰直角三角形，從而求得∠MAC的度數；
（3）在圖4和圖5中，連接AM，過點作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．圖4中，由四邊形ABCD為菱形，可得∠DAC=60°，再由AC、AD是圓M的切線，可得∠MAE=30°，由三角函數可得EA的長，再由3t+2t=5-AE可求出t的值；圖5中，同理先求出AEden長，再由3t+2t=5+AE求出t的值.