Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+2與坐標軸交于A、B、C三點，其中B（4，0）、C（﹣2，0），連接AB、AC，在第一象限內的拋物線上有一動點D，過D作DE⊥x軸，垂足為E，交AB于點F．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）在DE上作點G，使G點與D點關于F點對稱，以G為圓心，GD為半徑作圓，當⊙G與其中一條坐標軸相切時，求G點的橫坐標；
（3）過D點作直線DH∥AC交AB于H，當△DHF的面積最大時，在拋物線和直線AB上分別取M、N兩點，并使D、H、M、N四點組成平行四邊形，請你直接寫出符合要求的M、N兩點的橫坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵B，C兩點在拋物線y=ax2+bx+2上，

∴，

解得：．

∴所求的拋物線為：y=．

（2）

拋物線y=，則點A的坐標為（0，2），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

∴，

解得：．

∴直線AB的解析式為y=x+2，

設F點的坐標為（x，x+2），則D點的坐標為（x，），

∵G點與D點關于F點對稱，

∴G點的坐標為（x，），

若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得⊙G與其中一條坐標軸相切，

①若⊙G與x軸相切則必須由DG=GE，

即，

解得：x=，x=4（舍去）；

②若⊙G與y軸相切則必須由DG=OE，

即

解得：x=2，x=0（舍去）．

綜上，以G為圓心，GD為半徑作圓，當⊙G與其中一條坐標軸相切時，G點的橫坐標為2或．

（3）

M點的橫坐標為2±，N點的橫坐標為±．

【解析】（1）根據B，C兩點在拋物線y=ax2+bx+2上，代入拋物線得到方程組，求出a，b的值，即可解答；
（2）先求出直線AB的解析式為y=﹣x+2，設F點的坐標為（x，-x+2），則D點的坐標為（x，），根據G點與D點關于F點對稱，所以G點的坐標為（x，），若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得⊙G與其中一條坐標軸相切，分兩種情況解答：①若⊙G與x軸相切則必須由DG=GE；②若⊙G與y軸相切則必須由DG=OE；
（3）M點的橫坐標為2±2，N點的橫坐標為±2．