Question

【題目】如圖，矩形OABC中,點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸的正半軸上，OA=4,OC=2.點(diǎn)P（m,0）是射線OA上的動(dòng)點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)，作□OEAF，EF交OA于G，

（1）寫出點(diǎn)E,F的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）：E(_____,_____),F(______,_____).

（2）當(dāng)線段EF取最小值時(shí)，m的值為______;此時(shí)□OEAF的周長(zhǎng)為______.

（3）①當(dāng)□OEAF是矩形時(shí)，求m的值.

②將△OEF沿EF翻折到△O′EF，若△O′EF與△AEF重疊部分的面積為1時(shí)，m的值為 .

Answer 1

【答案】（1）（，1），（4-，-1）；（2）4；4；（3）①m=4±2，②2或6.

【解析】

（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和對(duì)稱性，分別求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

（2）由題意當(dāng)EF⊥OA時(shí)，線段EF有最小值.由勾股定理可得m的值及四邊形OEAF的周長(zhǎng).

（3）①分情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，如圖1，利用勾股定理求出HG，就可得到OH的長(zhǎng)，然后求出OP的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)P在OA延長(zhǎng)線上時(shí)， 先求出OH，然后求出OP的長(zhǎng)即可；②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，先證△AEF為直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值；當(dāng)點(diǎn)P在OA延長(zhǎng)線上時(shí)，先證△AFE為直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值.

（1）∵C(0,2),P(m,0),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,1)，由F和E關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱，可得F的坐標(biāo)為(4-,-1).

故答案為：(,1)，(4-,-1).

（2）當(dāng)EF⊥OA時(shí)，此時(shí)EG最小,則EF最小.此時(shí)點(diǎn)P與A重合，m=4,易知，四邊形OEAF是菱形， 由勾股定理得OE=，四邊形OEAF的周長(zhǎng)為4，

故答案為：4，4

（3）作EH⊥x軸于點(diǎn)H,

當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，如圖1，

Rt△EHG中，EH=1,EG=OG=2,則HG=

∴OH=2-

∴m=OP=4-2

當(dāng)點(diǎn)P在OA延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2，

∴OH=2+

∴m=OP=4+2

綜上所述，m=4 ±2

②分兩種情況：

Ⅰ：當(dāng)P在線段OA上時(shí)，如圖，

∵OEAF是平行四邊形，

∴AG=OA=2,

又E ()

∴

∵折疊后與重合

∴

又OF∥AE,

∴

∴

∴EH=FH

又G為EF中點(diǎn)

∴HG⊥EF

∵

∴

∴

∴HE=AH

∴HE=AH=HF

∴△AEF為直角三角形，∠AFE=90°

∴∠OEG=90°

∴+=

∴+++=

解得=2

Ⅱ、當(dāng)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖

同理可證，EH=FH=AH,

∴∠AEF=90°

∴△AEG為直角三角形,

∴+=

∴+++=

解得=6

綜上所述，m=2或6

故答案為：m=2或6