Question

已知：如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠A．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，若CE=2，cosD=

4

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）要證DC是⊙O的切線，只要連接OC，再證OC⊥CD即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)即可求出⊙O的半徑．

解答：證明：（1）連接CO，（1分）
∵AB是⊙O直徑，
∴∠1+∠OCB=90°．
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠5=∠A，
∴∠5+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半徑，
∴CD為⊙O的切線．（3分）

（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD．（4分）
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=

CE

CO

．
∵cosD=

4

5

，CE=2，
∴

2

CO

=

4

5

．
∴CO=

5

2

．
∴⊙O的半徑為

5

2

．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了三角函數(shù)的知識(shí)．